『数学の秘かな愉しみ』(原題”THE UNIVERSE AND THE TEACUP”)
K.C.コール著、大貫昌子訳(白揚社)1999年初版を読み終えました。
もともと自分でも笑ってしまうほど数学的センスが無いのに加えて
数学的視点や思考に対して不慣れなために読もうと思った一冊。
この前、大阪に来た北陸先端科学技術大学大学院の南さんに
「数式とか入って無くて簡単に読めて内容も面白いけど
ちゃんと数学的なものの見方が分かる本ないっすか？」
というかなり舐めた条件を提示して薦めてもらった本。
内容の方は普段、単なる数や数式の猥雑さにばかり眼を奪われて
見失ってしまっている数学的な（≒論証的な）アプローチについて
ごく日常のできごとや普段の生活の中の話題から例を使って説明している。
そこから「確率って結局何なのか？」、「統計ってどういうものか？」、
「証明とはどこまでの真実を約束するものか？」という
僕たち素人が考えるいかにも数学的なネタから始まり
そこからさらに「常識とは何を指しているのか？」、
「事実とは何を示しているものなのか？」、
「生きるということはどういうことなのか？」、
「真実とはなにをもって言うのか？」そして最後は「真理とは何か？」
というとても深い話まで展開していく構成になっている。
哲学的技法としての数学を使って一見何のつながりもなさそうな
宇宙の真理と日常の日々を無理なくつなげてまとめているすごい本。
（まさに”THE UNIVERSE AND THE TEACUP”の原題通り）
この本のすごさは何といっても独りよがりな妄想に走りがちな
このような哲学的なネタに科学者たちの悪戦苦闘を紹介することで
決定的な説得力を持たせているところだろう。
数学的思考というスキルを鍛える目的で読み始めたが
純粋な読み物としてとても面白い上に転換ということを考えさせてくれる。
読み終わってみて自分の頭が勝手につくりあげた狭い狭い常識に
いかに凝り固まっていたのかということを痛感させられた。
僕が単にこういう数学的論証に慣れていないから
特にそう感じているだけかもしれないが良い本と言える一冊だろう。
そう思ってふと、読書録を振り返ってみると大学に入ってから
ちゃんと一冊通して読み終えた純粋に理系の本と言えるものを選定してみると
『はじめての統計学』鳥居秦彦著(日本経済新聞社)
『システム科学入門』北原貞輔著(有斐閣ブックス)
『数学的思考』森毅著(講談社学術文庫)
『化学入門』原光雄著(岩波新書)
『図解雑学 算数・数学』大矢浩史監修(ナツメ社)
・・・と、この本を加えてもたったの5冊(全181冊中)。
つまり基礎的知的活動である読書の36分の1しか
数学・理学系の本に使っていないということになる。
「そりゃあダメなのは仕方ないな」とけっこう反省した。
また、内容の方では論理展開の根底には数学が流れている本なので、
部分部分の抜粋はあまり意味が無いだろうけど
それでも一部分だけでもとても興味深かったのは
「何でこんなところに数学が？」の章の中での
物理学者リチャード・ファインマンの言葉・・・
「必要なのは『なぜそれがわかるのか？』とか
『どの証拠に基づいているのか？』『他の何と比較しているのか？』とか、
おそらくすでに頭の中にあった疑問を口に出して言う自信だけである。」
「科学とは自分をいかに騙さないようにするかを学ぶ長い歴史である。」
・・・としているのは僕も意識していきたい気がする。
それだけでなく「当たらない予測を科学する」の章で、
「『理論は予測する』・・・これは現在の予測を指しているのだ。」
「科学予測は、言うなれば天気予報というより
むしろ思考の流れのようなものだ・・・
予測は理解への道を照らす道標であって、ゴールの目印ではないのだ。
・・・つまりどのように、なぜ？を理解するのであって、
いつ、どこに？ではないのだ。」
「科学が特に予測に優れているのは、何といっても
いわゆるパターン認識だろう・・・科学の畠で予測をあまりにも
重要視したことが、おそらく大衆の科学不信を招いたのではないか。」
（物理学者オッペンハイマー）
・・・というものがあった。
これをおさえていないと科学に対する
過度の期待や不信を生んでしまうんだろう。
加えて「偶然、必然、O・J・シンプソン」の章では・・・
「証明とは何かがほんとうかどうかを確かめることではなく、
『その背後にある主張のあいだの論理的関係』を明らかにすることなのだ。」
・・・ということを強調した上で法廷の証拠として科学的実証が
求められることについて科学史家ポーターの主張・・・
「法廷では、科学ではとうてい不可能な基準を要求される・・・
法廷では科学者がまるで機械のようにふるまうことを期待しているけれども、
そんなことをすれば結論などだせたものではない。」
・・・法廷では科学者グループの総意を結論として扱うが・・・
「総意とは、正しい意見というわけではなく、ただの合意にすぎない。」
・・・というのを紹介しているのは科学的実証が証拠として
より認められていくだろう今後も意識して注目していかなくてはいけない点。
「量が質に転換するとき」の章では「覆り点」について・・・
「だがその臨界点に達したとき、ほんのわずかな変化が大々的な効果を
現わすのだ。ただしその決定的な境界に達するまでは、
かなり大きな変化さえも、
がっかりするほどのわずかな効果しか現わさない。」
・・・としているのは何でもやるにはかなりの粘りがいる
ということの科学的証明だろう。
そしてこの本の結論的な部分である「真理の不変性」の章では・・・
「自分が見ているものと、そこで起こっているできごととの関係を
理解するためには、自らの準拠の枠（立場や主観性、見る時の状況など）
の影響を足すか引くかしなくてはならないのだが、
ほとんどの人は自分がそんな準拠の枠などというものを持ち歩いているとは、
まったく意識していない。」・・・と、いままでこの本の中で
科学的試行錯誤を紹介した後に言っているのは説得力がある。
「人々はよく正しいとか間違っているとか言って言い争うけれども、
本当は正誤というより、準拠の枠の違いを言い争っていることが多い。」
「さまざまなものの見方は、見るものが自分の立っている枠の種類と、
自分が見とおしている光景の力を理解している限り、
それぞれがさらに新しい洞察を加えていくことになる。」
「浅薄な真理の逆は誤りだ。だが深遠な真理の逆は、やはり事実である。」
・・・としているのは説得性がある。
また、この「真理の不変性」の章では音楽家兼数学者のロススタインの言葉
「対象性をさがしているときの私たちは『どの面を最も重要と考え、
どの面を関係ないことと考えるかを定義しているのだ。』」に加えて・・・
物理学者ヴァイスコップフの言葉・・・
「科学で美しいものは、ベートーヴェンに感じられる美しさと
まったく同じものなのだ・・・さまざまなできごとのもやのなかに、
突然つながりが見えてくる。それは絶えずわれわれの心の奥底に
ひそんでいながら、一度も結びついたことのない、
複雑なことがらのつながりを表しているのだ。」
「自然の秘密はシンメトリ（対象性）にある・・・ただしこの世界の質感は、
シンメトリの破れの機構からくるのだ。」
・・・というのはとても深いが説得性がある。
それほど主要な箇所ではないが注目してしまったのが、
「こんなに危ないことをしているあなた」の章で・・・
例えばタバコに1万8250箱中、一本ずつタバコ型の爆弾が入っていれば
絶対に発売禁止になる。それは一日に3000万箱ずつ売れるとすると
一日平均1600人が確実に死ぬからだ。しかしそれ以上の人間が
確実にニコチンの害とわかっている原因で死んでいる。
このようなことから心理学者ワインスタインが・・・
「人が自分に降りかかりそうなリスクを何とか小さく見積もろうとする努力は
まさに涙ぐましく、それこそ『独創的』とも言えそうだ。
・・・おそらくこれは自尊心を守ることと関係がありそうだ・・・
『自分がリスクにさらされていることを認めることは、
とりもなおさずストレスを処理できないこと、
つまり他の人ほど強くないことを認めるようなものだからだ。』」
・・・として危機感への対処に心理的防御機能が働くことを述べている点だ。
これに関して人類学者コナーは「おそらく人間の脳は、もともと現代生活の
リスクを念入りに計算するようにはできていないのかもしれない。」
「私たちの知的器官というものは、珍しく強く情に訴えてくるような危険、
突飛で劇的な危険向きにできているのだ。」
・・・としたりしているが僕自身の経験からどう見ても
「このままだとぜったいヤバイやろう？」と思っても本人は
びっくりするほど危機感を受け入れようとしない人を見たことがあるが
これはこういったものなんだなと変に納得してしまった。
笑ってしまったのが「割れた卵はもとに戻るか」の章の
最後の方でクラウジウスの・・・
「生命とは自然に反するふるまいの常として、何か強い力によって、
あるエンジンが正常のふるまいの法則を逆行させえた結果に他ならない。
（熱は普通高温から低温へと流れるものである）」ことから・・・
「なぜ生よりも死に勝ち目があるのかを悟り、
そしてそのゆえに生命には一つ残らず終わりがあること、
それも決して例外がないことを理解したのだった。」
・・・という確信を紹介してその締めくくりとして
ストッパード著の『アルカディア』をさらに引用して・・・
「彼はそのとき突然、ものごとが必然的に向かう方向は
無秩序しかないという、トマシナの数学的発見の重大さに気づいたのである。
・・・『そうですとも』とトマシナは答えた。
『ダンスに行くのなら急がなきゃ。』」・・・として終わっているところだ。
だいたいこういったところに興味を感じたが、
以下はそれ以外でチェックしたところ・・・
「優雅な果実」の章・・・
理論物理学者デーヴィッド・グロスによる言葉
「理由はともかく、自然は根底のレベルでは、必ず美を選ぶものだ。」
「量的な論証と質の高い人生を求める心とが決して矛盾しない・・・
そもそも質と量とを引き離すことはできないものなのだ。」
「何でこんなところに数学が？」の章・・・
物理学者フランク・オッペンハイマー
「ものごとを理解するということはセックスみたいなものだ。
たしかに実用的な目的はあるのだが、人はふつう目的のために
それを実行するわけではない。」
「数学は混乱した関係をはっきりさせるのに役立つ考え方である。
それは世界の複雑さを扱いやすいパターンに書きかえる言語とも言えよう。」
「こんなに危ないことをしているあなた」の章・・・
「切迫した危険は、はるか先にある危険よりずっと強い恐怖を呼び起こす。」
心理学者ツヴァースキーとカーネマンの共同研究
「ほとんどの人はたとえ大きな報酬をふいにしてまでも、
小さな危険を避けるのにやぶさかではない。
『何かを失う危険は同等の利益より、
はるかに強く人の判断を左右するものだ』と。」
「ところが行動にでる場合のリスクと行動しない場合のリスクの
どちらをとるかを判断するとなると今度は逆で、
実際には行動しないほうのリスクが大きいかもしれなくても、
やっぱり行動をとるため冒すリスクのほうがずっと大きく見えるものなのだ」
「男を測る、女を測る」の章・・・
「計測自体、実際にはそんなに簡単なものではない。
どんな場合もまず引き離せないものをむりやり離したり、
数えられないものを測ったり、
漠然としたものを定義したりする必要があるのだ。
おまけに測るという行為は、たいがいその対象物に影響を及ぼすものだし、
ときにはそれを壊してしまうことすらある・・・
何かを計るとき、得失は必ず相半ばするのだ。」
「なぜ惑星はみんな丸いのか？」の章・・・
生物学者グールド「それぞれの体内の時計で計れば、
どんなに大きさの違う哺乳動物でもみな同じ長さの
時間を生きていることになる。」
「干草の山に埋もれた信号」の章・・・
「そもそも事実というのは、それだけが完全に隔離されて汚れもなく、
すぐさま人に鑑賞され、ちやほやされるような便利な形で
現われてくることは滅多にない。」
「どちらからも文句のでない離婚条件」の章・・・
公平な分配について「その要点は、公平な分割といっても
単にものを等分するのではなく、さまざまな『競り手』が、分けようとする
当の対象にどれほどの価値を見ているかを考えることなのだ。」
→政治学者のブラムズと数学者のテイラーが導き出した「勝者調停」
→分割の対象物に各当事者が自分の好みによって100点ずつ割り当てる。
「神は親切な者の味方」の章・・・
囚人のジレンマを繰り返すコンピュータプログラムの対戦トーナメントで
優勝した協力を第一とするプログラムの特徴を一言で言うと・・・
「人にしてもらいたいと思うことを、人にもしなさい。
さもなければ思い知れ！」
このことを踏まえて政治学者アクセルロッドは・・・
「長い目でみれば『親切でない戦略』は結局自らの成功に
必要な環境そのものを破壊してしまう・・・
戦略の一つが他の成功を羨んでそれを出し抜こうとすると、
たいていの場合結局自分の損になるのだ。」
「他人の成功が、実質上自分自身の成功の必要条件なわけだから、
他を羨ましがっても意味がない。」
ダーウィンの進化論に対するシミュレーションの結果を
微生物学者マーグリスの言葉を引用して・・・
「『適者』が生き残ることが多かったからといって、
必ずしもその『適者』が最も強く、
最も強引で最も多産だったことにはならない。
『適者』とは、あるいは自分の目的達成のため協力を利用することを、
最もよく収得できるものを指している」
「真理の数学」の章・・・
「不変の真理に到達する道は、皮肉にも自らの観点を
鋭く自覚することにある。」
「割れた卵は元に戻るか」の章・・・
確立論に決定的な役割を果たしたニューマンの確率論に対する要点
「偶然という概念全体が、単に無知を婉曲に言っただけのことなのだ。
ただし偶然には規則性がある。」
相関関係について一卵性双生児を別々の環境で育ててみても
似たような育ち方をする実験結果について遺伝学者ローズは・・・
「血が続いていようといまいと、
とにかく対象は同時代に育った人々なのだ。」
・・・そこから「相関関係は、要するにそこに何か関係が
あるかもしれないことを暗示しているにすぎない。
一つのことがもう一つのことを引き起こすという
原因結果の信頼できそうな機構なしには、
相関関係などまずほとんど役には立たない。」
児童保護財団のスミスの言葉「僕らの脳には統計的才能に欠けている」
「偶然、必然、そしてO・J・シンプソン」の章・・・
物理学者リヒター「われわれの社会では、科学的な発表とは、
データの確率的な解釈であることが多い」
→「科学的な真理とは、必ず暫定的なものなのだ。」
これに加えて物理学者ハラリ「どんな計測であれ、
ある意味ではすべて近似値である」、
数学者クライン「矛盾の代価は不完全さだ」
・・・これをさらに展開させて・・・
「そもそも自然の法則も含めた最高の法則が不変であるからには、
法的概念も不変であるべきだと人は考えがちだ。
多数決とか武装する権利のような概念はドグマに凝り固まったあげく、
それが自然の法則が科学の方法に従っているものとして、
正当化されているようにさえ見える。
しかし自然の法則がドグマであることはまずない。
だいいちそれははっきり定義された限界のなかだけに通用するのだ。」
「諸法則が思いがけず新しい情況内で働くとき、
ルールが以前と同じでなくてはならない理由などどこにもない。
だから人間の脳などという複雑怪奇なところに、
単純な論理の法則があてはまらないのは当然だ。
地球上ですら平行線は湾曲した面では交わるのである。」
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１９９９ ８／２７
数学、自然科学、哲学
まろまろヒット率5